माना फलन $f : R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f ( x )= x ^{3}+ x ^{2} f ^{\prime}(1)+ xf ^{\prime \prime}(2)+ f ^{\prime \prime \prime}(3), x \in R$ तो $f(2)$ बराबर है

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन इस प्रकार है कि सभी $x \in R$ के लिए $f\left(x^2\right)=f\left(x^3\right)$ है। निम्न कथनों पर विचार करें

$I$. $f$ एक विषम फलन है

$II$. $f$ एक सम फलन है

$III$. $f$ सभी जगह अवकलनीय है तब

यदि $f(x) = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^4}x}}$, $x \in R$ के लिए, तब $f(2002) = $

माना $\mathrm{f}^1(\mathrm{x})=\frac{3 \mathrm{x}+2}{2 \mathrm{x}+3}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}-\left\{\frac{-3}{2}\right\}$ है $\mathrm{n} \geq 2$ के लिए $\mathrm{f}^{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=\mathrm{f}^1 0 \mathrm{f}^{\mathrm{n}-1}(\mathrm{x})$ द्वारा परिभाषित कीजिए। यदि $\mathrm{f}^5(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{bx}+\mathrm{a}}, \operatorname{gcd}(\mathrm{a}, \mathrm{b})=1$, है, तो $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ बराबर है_________. 

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णाक फलन $f: R \rightarrow R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $[x], x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णाक को निरूपित करता है।

यदि $f(x + ay,\;x - ay) = axy$, तब $f(x,\;y) =$